A curved Brunn--Minkowski inequality on the discrete hypercube

We compare two approaches to Ricci curvature on non-smooth spaces, in the case of the discrete hypercube $\{0,1\}^N$. While the coarse Ricci curvature of the first author readily yields a positive value for curvature, the displacement convexity property of Lott, Sturm and the second author could not be fully implemented. Yet along the way we get new results of a combinatorial and probabilistic nature, including a curved Brunn--Minkowski inequality on the discrete hypercube.Comment: Latest version: improved constants, minor correction

Amortissement Landau

10 pages -- version française de la note "Landau damping" hal-00383920Dans cette note nous présentons les principaux résultats du récent travail hal-00376547/arXiv:0904.2760, où le phénomène d'amortissement Landau est pour la première fois établi dans un contexte non linéaire. [In this note we present the main results from the recent work hal-00376547/arXiv:0904.2760, which for the first time establish Landau damping in a nonlinear context.

Tangent cut loci on surfaces

International audienceGiven a smooth compact Riemannian surface, we prove that if a suitable convexity assumption on the tangent focal cut loci is satisfied, then all injectivity domains are semiconvex

Nearly round spheres look convex

International audienceWe prove that a Riemannian manifold (M, g), close enough to the round sphere in the C4 topology, has uniformly convex injectivity domains so M appears uniformly convex in any exponential chart. The proof is based on the Ma-Trudinger-Wang nonlocal curvature tensor, which originates from the regularity theory of optimal transport

On the Ma-Trudinger-Wang condition on surfaces

International audienceWe investigate the properties of the Ma-Trudinger-Wang nonlocal curvature tensor in the case of surfaces. In particular, we prove that a strict form of the Ma-Trudinger-Wang condition is stable under C 4 perturbation if the nonfocal domains are uniformly convex; and we present new examples of positively curved surfaces which do not satisfy the Ma-Trudinger-Wang condition. As a corollary of our results, optimal transport maps on a "sufficiently flat" ellipsoid are in general nonsmooth

L’écriture des mathématiciens

Cette note résume et développe certains sujets abordés lors de ma participation à la table ronde « les écritures des mathématiciens et des physiciens », avec Patrick Flandrin et Jean Dhombres, dans le cadre du colloque Écritures : sur les traces de Jack Goody. En mathématiques, comme en physique théorique, le rôle de l’écriture présente quelques caractères distinctifs. Sans faire d’étude détaillée, et sans mise en perspective historique sérieuse, je me contenterai de décrire l’existant, à la ..

Le ciel étoilé de Poincaré à la Fondation Cartier

Jean-Michel Alberola, Un ciel mathématique – Henri Poincaré Vue de l’exposition Mathématiques, un dépaysement soudain, Présentée du 21 octobre 2011 au 18 mars 2012 à la Fondation Cartier pour l’art contemporain, Paris. Photo © Olivier Ouadah. Vue d’artiste : Henri Poincaré, célèbre pour ses intuitions fulgurantes, brille au plus haut du firmament mathématique ; mais comment faire pour lui rendre hommage de manière à la fois réaliste et poétique ? Pour ce faire, l’artiste Jean-Michel Albero..